Freunde und Singles in Mecklenburg-Vorpommern

beliebige Raute zeichnen:

Die spitzen Winkel der Raute bezeichnen wir mit alpha und die stumpfen mit beta. Die obere Spitze der Raute mit A, die linke (stumpfe) Ecke der Raute mit B. Den Mittelpunkt des linken oberen Quadrats mit M1, den des rechten oberen Quadrats mit M2 und den des linken unteren Quadrats mit M3 (die 1, 2, 3 und 4 bei M sollen Indizes sein). Den letzten Mittelpunkt bezeichnen wir der Vollständigkeit halber mit M4.

Jetzt sieht man, daß alpha+beta=180°, weil die gegenüberliegenden Seiten parallel sind und alpha und beta sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Also gilt:

beta=180°-alpha

Man weiß, daß die Diagonalen der Quadrate mit den Quadratseiten einen Winkel von 45° haben und daß die Diagonalen gleich lang sind und die Mittelpunkte M1, M2 und M3 in der Mitte der Diagonalen liegen. Also gilt:

Winkel(M1AM2)=45°+alpha+45°=90°+alpha

|M1A|=|M1B=|M2A|=|M3B|

Jetzt berechnen wir den Winkel(M1BM3)

Winkel(M1BM3)=360°-45°-beta-45°=270°-(180°
-alpha)=90°+alpha

Jetzt haben wir 2 kongruente Dreiecke bewiesen:

M1AM2 ist kongruent M1BM3

In kongruenten Dreiecken sind alle Seiten gleich lang, also gilt:

|M1M2|=|M1M3|

Damit ist die Verbindung aller Mittelpunkte schon mal eine Raute, denn wegen der Symmetrie der gegebenen Raute sind die gegenüberliegenden Mittelpunktsverbindungen natürlich ebenfalls gleich lang.

|M1M2|=|M1M3|=|M2M4|=|M3M4|

In kongruenten Dreiecken sind ebenfalls alle Winkel gleich groß, Die Dreiecke M1AM2 und M1BM3 sind gleichschenklige Dreiecke (siehe gleichlange Seiten) und somit gilt:

Winkel(AM1M2)=Winkel(BM1M3)

Die Diagonalen im Quadrat schneiden sich im Rechten Winkel, also gilt:

Winkel(BM1M2)=90°-Winkel(AM1M2)
Winkel(BM1M2)=90°-Winkel(BM1M3)

--> Winkel(M2M1M3)=Winkel(BM1M2)+Winkel(BM1M3)
=90°

Eine Raute mit einem rechten Winkel ist ein Quadrat!